EL CALCULO EN EL SIGLO XVIII
EL CALCULO EN EL SIGLO XVIII
Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió esencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.
Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.
Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. 
Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi
terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes.
Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera mathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.
Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgiterminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes.
Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera mathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.
Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva consubtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.
Pero pasemos ya al Cálculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el valor de la curva inicial en ese punto.
Tomado de: http://euler.us.es/~libros/calculo.html
